矩阵快速幂 学习笔记

举例1:Fibonacci

题目传送门

题意

$$f[1]=1,f[2]=1,f[3]=2,f[4]=3 \dots f[n]=f[n-1]+f[n-2]$$
那么输入$n$、$m$,求第n项Fibonacci的值$mod$ $m$,即$f[n]$ $mod$ $m$。
$$1\leq n \leq 2 \times 10^9$$
因为:$$f[i]=1 \times f[i-1]+1 \times f[i-2]$$$$f[i-1]=1\times f[i-1]+0 \times f[i-2]$$
所以,我们可以发现递推式可以转化为矩阵运算:
$$\left(\begin{array}{rcl}f[i]\f[i-1]\end{array} \right) = \left(\begin{array}{rcl}1 \quad 1\1\quad 0\end{array} \right) \times \left(\begin{array}{rcl}f[i-1]\f[i-2]\end{array} \right)=\left(\begin{array}{rcl}1 \quad 1\1\quad 0\end{array} \right)^2 \times \left(\begin{array}{rcl}f[i-2]\f[i-3]\end{array} \right)$$
那么可得:
$$\left(\begin{array}{rcl}f[n]\f[n-1]\end{array} \right)=\left(\begin{array}{rcl}1 \quad 1\1\quad 0\end{array} \right)^{n-2} \times \left(\begin{array}{rcl}f[2]\f[1]\end{array} \right)$$

举例2:Fibonacci求和

题目传送门

题意

输入$n$、$m$,求出Fibonacci的前$n$项的和 $mod$ $m$的值,即:$f[n]\quad mod\quad m$
$$f[n]=f[n-1]+f[n-2]$$
$$f[n-1]=f[n-2]+f[n-3],f[n]=2\times f[n-2]+f[n-3]$$
$$f[n-2]=f[n-3]+f[n-4],f[n]=f[n-2]+2\times f[n-3]+f[n-4]$$
$$f[n-3]=f[n-4]+f[n-5],f[n]=f[n-2]+f[n-3]+2\times f[n-4]+f[n-5]$$
以此类推,可得:
$$f[n]=f[n-2]+f[n-3]+f[n-4]+f[n-5]+\dots f[2]+2 \times f[1]$$
那么:
$$f[n-2]+f[n-3]+f[n-4]+f[n-5]+\dots f[2]+f[1]=f[n]-f[1]$$
$$f[n-2]+f[n-3]+f[n-4]+f[n-5]+\dots f[2]+f[1]=f[n]-1$$
也就是:
$$f[n]+f[n-1]+f[n-2]+f[n-3]+\dots f[2]+f[1]=f[n+2]-1$$
所以只需要将上题代码改一改就好了:
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